Modelos matemáticos del cosmos
de los indígenas mayas precolombinos

Alejandro Jaen Rojas

Introducción
Muchas son las investigaciones que se han realizado sobre el arte, la cultura o las ciudades de la civilización maya precolombina. En muchos de esos estudios se ha puesto de manifiesto que los mayas llegaron a tener grandes conocimientos en astronomía y definían con extraordinaria precisión los momentos en que tenían lugar los solsticios, los equinoccios y los eclipses. Incluso, los estudios del códice de Dresde han demostrado que habían aprendido a llevar los cómputos exactos del planeta Venus durante varios cientos de años.

Sabemos por ejemplo que utilizaban un sistema en base 20 y que, posiblemente tratando de unificar el sistema numérico con el sistema calendárico, lo modificaron y utilizaron un segundo sistema de numeración exclusivo para llevar los cómputos del tiempo. Sabemos también que no usaron 20 números sino solo tres y que con esos tres podían escribir todas las cifras. Eso números son el 1, el 5 y el cero.

Sin embargo cuando tratamos de conocer los métodos o las técnicas que utilizaron los indígenas para realizar lo que con frecuencia se llama" las grandes proesas de los astrónomos mayas" nos encontramos con grandes barreras.

No sabemos, por ejemplo, que símbolo usaron para representar los números al cuadrado o al cubo y si utilizaron algún símbolo para expresar las incógnitas. Tampoco sabemos si desarrollaron un sistema similar al álgebra. Aún quedan cientos de símbolos mayas sin descifrar y, tal vez, entre ellos se encuentra la clave a muchas de nuestras interrogantes.

Ignoramos cosas tan elementales como el nombre de sus grandes matemáticos o sus astrónomos, los libros o los teoremas que dejaron y casi la totalidad de los problemas que se plantearon. Así, es más lo que ignoramos que lo que sabemos, realmente la conquista y colonización provocaron una ruptura brutal en términos de acceso al conocimiento del pueblo maya. De esa gran civilización sólo sobrevivieron cinco de sus libros.

Nuestro trabajo tiene como objetivo central explorar otras vías para tratar de encontrar los caminos hacia los conocimientos matemáticos de estos pueblos. No vamos a trabajar sobre los códices, que han sido una de las fuentes primarias de mayor importancia para los investigadores, sino que vamos a iniciar un trabajo guiándonos por las historias míticas y por una serie de pequeños indicios de antiguas técnicas que han quedado regadas en Mesoamérica a lo largo y ancho de cinco siglos. Sobre todo nos centraremos en el análisis de diseños geométricos que son comunes a muchos de los indígenas precolombinos de todo el continente americano.

 

La historia mítica
Con gran frecuencia los mitos de los pueblos indígenas de América fueron interpretados como sinónimo de leyenda. Es decir, un relato, hermoso tal vez, pero sin valor. Los conquistadores vieron en los mitos curiosos relatos llenos de supersticiones y dioses falsos. Con gran frecuencia los prohibieron.

Sin embargo, en las tradiciones indígenas los mitos son la base de su sistema de enseñanza-aprendizaje. Literalmente, en los pueblos indígenas, la gente aprende con mitos que consideran su historia real. Lo más preciado de sus conocimientos lo guardaban en forma de mitos y habían desarrollado ingeniosos sistemas para preservar los conocimientos. La tradición oral ha demostrado la capacidad de guardar conocimientos con gran precisión durante varios cientos de años.

Basándonos en diversos mitos trataremos de reconstruir hasta donde nos sea posible los modelos del cosmos según los mayas.

 

La astronomía a simple vista
Los mayas, como muchos otros pueblos a lo largo de la historia se dedicaron a la observación del cielo nocturno. Es difícil aventurarnos a determinar fechas exactas en las cuales se iniciaron como verdaderos astrónomos. Sin embargo, sí podemos decir con claridad que la observación rigurosa del movimiento de los planetas era común entre los pueblos mayas antes de la era cristiana. Según el Pop -Wuj, el libro sagrado de los mayas, mejor conocido como el Popol Vuh, en un tiempo primigenio sus grandes sabios dividieron el cielo en cuatro grandes regiones a las que llamaron los cuatro confines del Universo. Esa división del cielo la podemos expresar como un simple cuadrado al que una línea horizontal y una vertical parten en cuatro. Dentro del cuadrado se inscribe un círculo.

Figura 1: Mapa del cielo 1

Cada sector estaba asociado a un punto cardinal. Es interesante ver como incluso en la actualidad muchas danzas ceremoniales mayas empiezan por hacer el círculo y dividirlo en cuatro sectores. Para diferenciar cada región le otorgaron un color diferente. Blanco para el norte, amarillo para el sur, rojo para el este y negro para el oeste. Ese fue el modelo más sencillo de división del cielo que se plantearon en los albores de la astronomía.

 

Un cielo cuadriculado
Para llevar cómputos más precisos de los movimientos de los planetas, el sol y la luna cuadricularon el cielo.

Las cuadrículas del cielo se realizan mediante un proceso muy sencillo y rudimentario pero muy eficaz. Simplemente cogían una hamaca la estiraban, la colocaban contra el cielo nocturno y ya tenían un cielo cuadriculado. Luego veremos como es proceso se profundiza utilizando otros recursos.

Figura 2: Mapa del cielo 2

 

La Casa del Mecate
Las escuelas de enseñanza superior entre los Aztecas, lo que vendría a ser, guardando las distancias, como nuestras universidades, fueron llamadas Calmecatl (cal = casa mecatl = mecate o cuerda). Extraño nombre para una escuela de enseñanza superior. Sin embargo, es precisamente allí donde radica una parte esencial de sus conocimientos.

Para todos los pueblos empeñados en tirar conocimientos de las estrellas, el cielo nocturno no solo produjo una gran fascinación sino también innumerables problemas. ¿Cómo se movía el sol? ¿Cómo se movía la luna? ¿Cómo se movían esa cinco extrañísimas estrellas que no eran fijas? ¿Por qué no eran fijas?

Todos los pueblos de astrónomos se enfrentaron a los mismos y complejos dilemas y con frecuencia pasaron mucho tiempo empeñados en resolverlos. Los Mayas (y los Aztecas luego) no serían la excepción. Enfrentados a los mismo retos, sin embargo, le dieron una solución muy original a los conflictos. Para observar el cielo con la mayor rigurosidad aplicaron las técnicas y las artes que habían aprendido en otra disciplina del conocimiento en la cual tenían gran desarrollo. Recurrieron a su conocimiento en la fabricación de telas. Los métodos y las técnicas desarrollados en los telares fueron llevados a la astronomía. Literalmente tramaron el cielo como si se tratara de una urdimbre. La casa del Mecate, Calmecatl es precisamente eso. El lugar donde se aprendían las artes de la astronomía jugando con mecates, con cuerdas, con hilos.

Tenemos entonces, un pueblo que, posiblemente varios siglos antes de cristo ya utilizaba matrices para aplicarlas a desentrañar los misterios del tiempo y del cielo.

Pero una matriz por si sola sigue siendo un espacio abierto, donde cada espacio es idéntico al otro, donde no hay diferenciación y por lo tanto los errores a la hora de registrar fenómenos celestes pueden ser corrientes.

Es probable que la experiencia de trabajo en los telares, donde encontramos los mismos problemas permitió aportar una solución a ese conflicto.

 

Una curiosa observación
El uso de matrices los llevó a realizar un hallazgo que tuvo una enorme repercusión en el mundo maya. Descubrieron que al expresar los números en forma de pirámides se facilitaban enormemente los cómputos. El cielo seguía viéndose como una trama donde la base de la pirámide representaba el horizonte.

Figura 3: Mapa del cielo 3

La observación era muy simple y sin embargo tenía un gran potencial de desarrollo. Simplemente habían descubierto que al expresar los números en forma de pirámides estos se ordenaban de arriba hacia abajo mediante una secuencia de números impares. Al descender de la cúspide de la pirámide escalonada contamos en las filas 1,3,5,7,9...etc.

Este sistema permitía también crear un cielo con espacios diferenciados, ordenados en cierta lógica que permitía subdividir el espacio.

Esta misma idea aparece en los versos de Goethe cuando dice: "Para encontrarte en lo infinito has de diferenciar para luego juntar". También con el mismo sentido aparece en el I Ching, el libro sagrado de la cultura China.

 

De lo impar a lo cuadrado
Si contamos en las filas, la pirámide era una representación de los números impares, pero debió haberles llamado la atención saber que si contamos los números impares acumulados obtenemos los números al cuadrado. Como lo decíamos anteriormente, aún no conocemos el símbolo que utilizaron (si es que lo hicieron) para expresar los números al cuadrado. Sin embargo si contamos con una voluminosa información sobre números al cuadrado expresados en forma de pirámides. Es precisamente en las telas donde se guarda la información y esta tradición sobrevive hasta la actualidad.

Figura 4

Si contamos, en la anterior figura, los espacios de la pirámide en forma acumulativa, de arriba hacia abajo obtenemos números al cuadrado.

 

Números pares
No todas las pirámides expresaban los números impares. Muy pronto deben haber descubierto la forma de expresar los números pares. Ese es sin duda un conocimiento que viene de la escuela de los telares. Tanto en la forma de preparar la urdimbre como en el uso de los telares de palitos, que son los más tradicionales, nos encontramos los juegos entre lo par y lo impar. Las investigaciones sobre las formas de tejer lo expresan con la mayor claridad:

"Cuando se procede a ejecutar un tejido sencillo, del tipo uno arriba, uno abajo, no existen sino dos posibilidades: los elementos impares se encuentran arriba y los pares abajo, proveyendo de esta manera un espacio entre las dos capas de hilos, para el paso de la bobina"

Todo lo relativo a las informaciones sobre las formas de tejer está inmerso dentro de las relaciones entre lo par y lo impar. Es legendaria incluso en la actualidad la extraordinaria maestría de las tejedoras guatemaltecas. Muchos museos en todo el mundo guardan las telas mayas como obras de arte.

Volviendo a nuestro asunto, tenemos que los números pares también aparecen como un diseño piramidal. En las filas contamos 2,4,6,8,10...etc.

De esta manera tenemos ya expresados de manera gráfica los números pares y los números impares. Tanto para los tejedores como para los astrónomos se abría un campo de grandes posibilidades. En ambas disciplinas es preciso desarrollar diversos sistemas de cómputo para ubicarse en el espacio con facilidad. Para los tejedores el problema es como contar para ubicar los hilos de colores con exactitud. Para los astrónomos el problema era el como contar para seguir la ruta de los planetas.

Figura 5: Mapa parcial del cielo
expresado como una pirámide escalonada par.

La suma de los números pares acumulados podemos expresarlos en términos algebraicos como x^2 + x. La acumulada es muy importante para determinar con facilidad un lugar preciso en el espacio. Dentro de la pirámide un planeta podía ubicarse con facilidad en 5^2 + 5 +3 y ese es un lugar exacto. Luego los mayas desarrollarían ingeniosos sistemas de notación que aun no han sido explorados en su totalidad.

Sobre números pares e impares aparece una copiosa información en la cerámica, los glifos y las telas. Las relaciones entre lo par y lo impar nos conduce a la construcción y percepción de sistemas binarios. En el escenario de los telares esa forma de percepción es algo cotidiano, es parte del trajín diario en la confección de las telas.

Figura 6:

 

La mitad del cielo
La suma de lo par y 10 impar se convirtió en la representación de la mitad del cielo. Eso significa que lo que en determinado momento se vio como un espacio cuadrado (segundo mapa del cielo) podía representarse en forma piramidal guardando los valores originales o expresando nuevos valores.

La figura, corresponde al plano de la mitad del cielo con pirámide par e impar, algebraicamente podemos expresarlo como 2x^2 + x.

Desde el punto de vista simbólico, que en la cultura maya era de gran importancia, lo par y lo impar se convirtió en la expresión de los dos elementos o energías que conforman la dualidad.

La dualidad se expresa con los dos elementos de un sistema de significados polivalentes: par-impar, noche-día, bajo-alto, luna-sol, oscuro-luminoso, femenino-masculino, etc.

En determinado momento lo par se puede convertir en impar y viceversa, depende de la perspectiva desde la que se mire el objeto de estudio. Pero en términos de construcción del espacio, la dualidad solo es la mitad de la información que requerimos.

 

El cielo
La totalidad del espacio, del cosmos, se forma por la reiteración de los dos elementos de la dualidad que se expresan en la trama. Al reiterar lo par y lo impar logramos un cielo perfectamente ordenado, dividido, medible.

Lo par que se expresa abajo, se reitera arriba pero invertido. Es, si se quiere, una visión especular, es como el reflejo de los espejos. Lo impar que se expresa a uno de los lados se reitera también como la prolongación de una imagen en la visión especular.

En este cielo perfectamente ordenado, medible es posible desarrollar y fortalecer el trabajo de los astrónomos con gran precisión. Todo el cielo (excluyendo las diagonales) podemos expresarlo mediante una simple fórmula matemática: 4x^2+2x.

Norte

Sur

Figura 7

Las diagonales fueron excluidas precisamente porque las consideramos una expresión del cero, y en este modelo solo nos sirven como guías en los cómputos. Pero eso es solo un recurso, una especie de herramienta para facilitar los cómputos, para expresar el orden entre lo par y lo impar. Perfectamente pueden contarse como parte del espacio o tratarse como un espacio particular. Como espacio particular sirve de guía para contar los números al cuadrado. En una pirámide impar basta contar los escalones y elevar el número al cuadrado para saber cuantos espacios tenemos en esa pirámide.

 

Una nueva perspectiva
Debe observarse que nuestro modelo del cosmos es una pirámide escalonada vista desde arriba. Entonces, podemos formular la siguiente hipótesis: Las pirámides escalonadas son la expresión arquitectónica de un modelo del cosmos.

Las diversas pirámides tendrían entonces que responder a diversos tipos de conocimientos. Ese es un trabajo que de manera más exhaustiva tendríamos que realizarse en las diversas pirámides. Para obtener volúmenes piramidales nos basta con elevar al cuadrado las informaciones que sacamos de los triángulos piramidales.

Debe observarse como al reiterar lo par y lo impar hemos regresado a nuestro primer modelo dividido en cuatro regiones, solo que ahora hemos ganado en profundidad porque aparece en sistemas escalonados donde cada espacio de la matriz puede tener un valor determinado, específico.

Esta forma de expresión aparece con gran frecuencia en las historias míticas cuando dicen que un astro "bajó de la pirámide" o "subió a la pirámide". También se expresa con los personajes que constantemente viajan a los mundos de abajo o los mundos de arriba. Al personificar los planetas y los conocimientos lograban un manejo cotidiano de las informaciones.

 

Espacio y tiempo
Un modelo arquitectónico del cosmos significa entre otras cosas, que los pueblos mesoamericanos comprendieron las dimensiones espacio- tiempo como una unidad. Los días no solo fueron concebidos como paso del tiempo sino también en su dimensión espacial. Para hablar de espacio y tiempo diversos pueblos mesoamericanos tienen una sola palabra. Por ejemplo, los indígenas bribri de la actualidad, al sur de Costa Rica utilizan la palabra: "Kö". Que significa de manera indistinta tiempo y espacio.

 

La creación de los calendarios
Los calendarios en mesoamérica no surgen sólo como una expresión de manejo y ordenamiento del tiempo sino también como un manejo del espacio.

Figura 8: Representación gráfica de los trece cielos

Según la historia mítica maya existían trece cielos. Nuestro trabajo nos impulsaba a creer que los mayas habían visto el cielo como una pirámide escalonada. Al construir la pirámide de trece cielos en forma escalonada nos encontramos con 182 espacios.

Cada espacio representa un día. Al dividir la pirámide en dos logramos establecer una relación más estrecha con los sistemas calendáricos. En diversas culturas los grupos de 91 días fueron muy utilizados. Representa una estación del año.

Figura 9: Los trece niveles del cielo
dividido en dos secciones de 91 días

Dentro de la tradición mítica el cielo no aparece solo sino que debajo del cielo está el espacio del inframundo. Esa hipótesis la reafirma la investigación de Leon Portilla sobre los mayas. También la fortalecía la investigación que Alfredo González y Fernando González realizaron sobre la construcción de las viviendas de los indígenas Bribri en Costa Rica.

 

Las cuatro estaciones
Al agregar el espacio del inframundo al modelo anterior logramos formar nuestro primer calendario.

Lo que anteriormente habíamos llamado los trece cielos, tiene su reflejo en una visión especular y se expresa abajo, invertido.

De esta manera contamos con cuatro sectores de 91 espacios. A esos sectores les llamaremos triángulos piramidales. Si los 91 espacios de cada triángulo los asociamos a los días tenemos 91 x 4 = 364 días. Nuestro modelo es un calendario que cuenta 13 lunas de 28 días cada una. Es decir, es un calendario lunar. (ver Figura 10)

Figura 10

 

La historia de los soles
Con el afán de profundizar en las historias míticas para extraer de ellas sus conocimientos calendáricos, repetimos nuestro modelo anterior pero eliminando los espacios centrales que están en blanco. De esta manera formamos lo que llamamos el rombo piramidal que se compone de trece niveles hacia arriba y lo que vendría a ser su reflejo, su visión especular, con trece niveles hacia abajo. En la cuadricula total contamos 676 espacios y el sector de la cuadrícula que está en blanco cuenta con 312 espacios. En el centro tenemos el rombo piramidal con 364 espacios.

Esa es precisamente la información que se encuentra en la historia de los soles de los mayas y los aztecas. Es una de sus historias más importantes. Ellos pensaban que el sol moría cada cierto tiempo y que luego se iniciaba un nuevo sol, una nueva época. Contaron cuatro soles diferentes:

El primer sol duró 676 años (es la cuadrícula total)

El segundo sol duró 364 años (es el rombo piramidal)

El tercer sol duró 312 años (es el espacio en blanco de la cuadrícula)

El cuarto sol duró 676 años (cuadrícula total)

Vemos entonces como en la historia mítica se nos dan elementos importantes para tratar de reconstruir el camino que ellos siguieron en la construcción de sus calendarios. Tenemos literalmente la historia de los soles convertida en un gráfico matemático.

Podemos notar un cambio sustancial con respecto al paso del tiempo. En nuestro análisis habíamos contado los espacios como días mientras que en la historia de los soles cada espacio es un año. Con gran frecuencia en todo los conocimientos indígenas nos encontramos con estos sentidos polivalentes.

 

El calendario azteca
La historia de los soles fue representada de manera magistral en el centro del calendario azteca.

Los cuatro personajes que se encuentran inscritos en cuadrados justo a los lados de la cara central representan los cuatro soles.

El calendario azteca es también un modelo del cosmos, donde cuentan el anillo de los meses, los anillos correspondientes a los planetas y al final las dos serpientes exteriores que representan la vía láctea.

Figura 11

 

Entre calendarios y grecas
La información de carácter calendárica o astronómica se presenta de las formas más variadas. Tal vez ese ha sido uno de los grandes impedimentos para poder abordar los problemas relativos a la matemática de los indígenas precolombinos.

Veamos un ejemplo: la Figura 10, Rombo piramidal dividido en cuatro sectores de 91 días. Cuenta 364 días.

Esa misma información relativa al rombo piramidal se encuentra con gran frecuencia expresada de otras formas. Por ejemplo, podemos expresarla en forma de grecas.

Figura 12

Esta es otra forma de expresar lo relativo al calendario de 364 días. Arriba contamos 49 días mientras que abajo contamos 42 días. 49 +42 = 91

Figura 13

Eso quiere decir que en cada franja contamos 182 días para un total de 364 días. Hemos representado de otra forma gráfica el calendario que habíamos analizado en la historia de los soles. Esta forma es también la forma por excelencia para realizar lecturas en los códices precolombinos.

Esa misma información aparece expresada de manera muy clara en las pirámides. Por ejemplo, la pirámide conocida como El Castillo en Chichen Itza, en la península de Yucatán tiene cuatro cuerpos de gradas con 91 gradas cada uno. Es decir cuenta 364 gradas.

 

Conclusión
Vemos como al utilizar los diseños tradicionales que los indígenas realizaban (y siguen realizando) en sus telas y cerámicas podemos avanzar en la búsqueda de sus calendarios, sus modelos del cosmos y conocimientos matemáticos. De gran ayuda fue también el contemplar su historia mítica como sistema de enseñanza aprendizaje y no como una fábula sin importancia. En este estudio no hemos hecho más que esbozar el tema con el afán de abrir el debate sobre el asunto.